Martin at GT

… handelt der heutige Eintrag. D.h. die weniger physikbegeisterten Leser sollten sich das Bildchen unten anschauen, sich an den geschlungenen Kurven erfreuen und dann zu einem älteren Beitrag wechseln 😉 . Ich werde nun nämlich ein wenig berichten, an was ich bei meiner Thesis denn gerade so arbeite. Ich hoffe mir gelingt eine einigermaßen verständliche Beschreibung, wenn auch stark verkürzt…

Ausgangspunkt ist eine Platte, die theoretisch unendlich gross ist, aber eine bestimmte Dicke hat. Da drin können sich mechanische Lamb Wellen ausbreiten (d.h. Materie stößt andere Materie an, was sich wellenartig fortsetzt), deren Gestalt man mit physikalischen Gesetzen (Newtons Gesetz u.a.) herleiten kann. Die Lamb Wellen sind dispersiv, was bedeutet, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz der Anregung abhängt. Aus der theoretischen Herleitung bekommt man aber eine Frequenzgleichung, die den Zusammenhang zwischen der Frequenz ω und der Wellenzahl κ (Kehrwert zur Wellenlänge) folgendermaßen herstellt

Dabei ist cL die longitudinale und cT die transversale Wellengeschwindigkeit in einem unendlichen Medium (beide sind Materialeigenschaften und damit konstant), und h die halbe Dicke der Platte . D.h. aus der Gleichung kann man Werte für ω und κ ausrechnen, aus denen man dann die Phasengeschwindigkeit c_ph erhält, wenn man ω durch κ teilt. Theoretisch breitet sich die Welle also mit dieser Geschwindigkeit aus. Wenn man das ganze numerisch ausrechnet und aufmalt, erhält man die Dispersionskurven und das sieht dann so aus.

Dispersionskurven

Die x-Achse ist die Frequenz und die y-Achse die Phasengeschwindigkeit. Jede Linie stellt eine Lamb Mode dar, wobei sich die Moden in ihrer Spannungsverteilung über dem Plattenquerschnitt unterscheiden. Soweit die Grundlagen.

Meine Aufgabe ist es momentan Modenpaare zu finden, so dass die Phasengeschwindigkeit der einen Mode bei Frequenz ω gleich groß ist wie die Phasengeschwindigkeit einer anderen Mode bei Frequenz 2ω, was als ‚phase matching‘ bezeichnet wird. Durch Hinschauen habe ich dann auch die Paare gefunden, die im Bildchen mit schwarzen Strichen markiert sind. Letzte Woche und diese Woche bin ich nun dabei die gefunden Paare analytisch, also mit der Frequenzgleichung oben zu untersuchen, bzgl. Verschiebungen an der Oberfläche der Platte, Gruppengeschwindigkeit, und welche Bedingungen da gelten. Diesen Teil habe ich größtenteils abgeschlossen und bin nun auf der Suche nach einer physikalischen Erklärung für die Ergebnisse.

Warum ich das ganze mache, hab ich ja früher schon mal ein bisschen erklärt, aber trotzdem nochmal kurz, um den Zusammenhang darzustellen: Durch ein paar mathematische Tricks kann man die nichtlineare Wellen-Theorie (das oben war alles lineare Elastizität) in die lineare Theorie überführen. Um den Effekt der Nichtlinearitäten sehen zu können, d.h. dass deren Amplitude stark wächst, wird in der Herleitung phase matching gefordert. Anhand der nichtlinearen Welle will man dann wiederum Aussagen über den Zustand des Materials machen, also wie fit das Material noch ist. Der Gedankengang ist also folgender: Wir suchen nach Anregungsfrequenzen, wo phase matching existiert, damit die durch Nichtlinearitäten im Material erzeugte Welle stark wächst und somit gut messbar ist, um dann aus der Messung Aussagen über das Material machen zu können.

Gut, der nächste Eintrag wird wieder über Freizeit sein, versprochen… 🙂

Wie versprochen folgt der ausstehende Bericht über die Reise nach New Orleans im Staate Louisiana. Nachdem Alex am Freitag morgen seine Prüfung hinter sich gebracht hatte, brachen Alex, Frederik, Magnus (Uni Karlsruhe) und ich zur etwa 7-stündigen Fahrt in den tiefen Süden auf. Wir durchquerten Alabama’s Hauptstadt Montgomery, steuerten stark südlich und erreichten nach der Durchquerung des  Staats Mississippi nahe der Golf Küste schließlich am fortgeschrittenen Abend unser Ziel. Die Hauptattraktion New Orleans‘ ist das historische Viertel French Quarter .  Bevor New Orleans 1803 mit dem Louisiana Purchase an die USA ging, hatte die Stadt eine abwechslungreiche Kolonialgeschichte zwischen Spanien und Frankreich, aus dessen Zeit die Architektur des French Quarters stammt. Die touristische Beliebtheit des Viertels vernahmen wir auch gleich, als wir versuchten, unser Hotel mit dem Auto anzusteuern: Um die Bourbon Street, das touristische Herz des French Quarters zu überqueren (wohlgemerkt Freitag abends), brauchte es angesichts der Menschenmassen schon einiges an Zeit.

French Quarter - ganz typisch

Kurz danach befanden wir selbst uns darunter und waren erst einmal verblüfft von dem ganzen Rummel. Leute tranken auf der Straße Bier (ungewöhnlich für USA), mehr oder weniger abwechselnd luden Musik-Bars, Strip-Clubs und Vodoo-Shops zum Einkehren ein, Leute warfen ‚Beads‘ (Perlenketten) von den Balkonen, die man normalerweise einer Frau umhängt, wenn sie einen dafür ‚flasht‘ (wer nicht weiß, was das ist, kann sich vielleicht denken, was es ist…) – Ganz anders als ich mir New Orleans vorgestellt habe, nämlich gemütliche Kneipen mit Jazz-Musik. Aber wir haben uns mit den Gegebenheiten ganz gut arrangiert und unseren Spaß gehabt… Von dem eben Beschriebenen kommt übrigens der Spitzname ‚Big Easy‘, als sich New Orleans Anfang des 20. Jahrhunderts zum zügellosen Vergnügungsort entwickelte.

French Quarter von Algier aus

Louis Armstrong - Der Vater des Jazz

Am Samstag gingen Alex und Magnus zum Jazz Festival, das an diesem Wochenende stattfand. Prinzipiell fand ich das auch eine gute Sache (Jazz Festival in der Stadt des Jazz), doch stieß mir persönlich auf, dass der Preis für eine Karte 50$ pro Tag betrug und das auch nur weil Leute wie Jon Bon Jovi u.ä. auftraten, die mal gar nichts mit Jazz zu tun haben. Frederik und ich schauten uns daher die etwas entlegeneren Punkte der Stadt an. Wir fuhren mit der St.  Charles Streetcar, einem altertümlichen, einwägigen Straßenbähnchen durch die Viertel Uptown und Garden District, wo man direkt Lust bekommt, in einer der luxuriösen Villen zu leben und die Füße auf der Veranda mit Schaukelstuhl baumeln zu lassen. Wieder zurück am touristischen French Quarter, nahmen wir die kostenlose Fähre nach Algier über den Mississippi für einen schönen Blick auf die Stadt von der anderen Uferseite. Am Nachmittag hatten wir uns auch das Louisiana State Museum angeschaut, für gerade mal 5$ jede Menge Geschichte, von den Ureinwohnern bis zum Bürgerkrieg, u.a. auch der Raum, in dem der Louisiana Purchase unterzeichnet wurde, der die Westausbreitung der USA stark voranbrachte.

Der Mississippi-Dampfer 'Natchez'

Kathedrale und Jackson Square

Am Sonntag streiften wir dann zu viert ausführlichst durch das French Quarter, um die alten Häuser, Kirchen, Regierungsgebäude, usw. anzuschauen. Zum Fotografieren gab’s da mehr als genug. Die ursprünglichen Pläne, einmal mit dem Schaufelraddampfer Natchez zu fahren, oder die „Katrina“-Tour zu machen, ließen wir dann aus Ermüdung und Kostengründen doch sein. Eine Tour durch die verwüsteten Gegenden hätte 35$ oder mehr gekostet, ziemlich viel für etwas, wofür keiner etwas geleistet hat. A propos Katrina, in den Touri-Zonen kriegt man nichts mehr davon mit, dass da mal (2005)  etwas war – außer in Shops, wo man Bücher über Katrina kaufen kann-, wobei dieses Gegenden damals auch nicht so sehr betroffen waren wie die Regionen im Osten zum Golf hin.

USS Alabama in Mobile

Früh morgens am Montag (wir hatten ja eine Stunde Zeitverschiebung aufzuholen), ging’s dann zurück nach Atlanta, wobei wir noch einen Zwischenstopp in Mobile, Alabama, einlegten, wo das ausgemusterte Kriegsschiff USS Alabama und ein U-Boot, beide aus dem 2.Weltkrieg, vor Anker liegen. Bis wir die ganzen Räume Unterdeck und im Kontrollturm (oder wie das heißt) abgelaufen hatten, vergingen doch 1-2 Stunden, aber die Größe, Komplexität und Organisation einer solchen Konstruktion boten genug Anlass zum Staunen. Im U-Boot konnte man sogar durch das Periskop die Alabama beobachten, sehr cool. Leider war das Periskop fixiert, so dass nicht ganz das Gefühl aufkam, Kapitän eines U-Boots zu sein,  aber beinahe 🙂 . Kurz vor der Abfahrt aus Mobile starteten eine Horde ekelerregend aussehender Insekten regelrechte Massenangriffe auf unsere Reisegruppe, vor der wir uns gerade noch ins Auto retten konnten, wo wir die letzten 5 Stunden verbrachten, bevor in Atlanta die Unbekümmertheit von ‚The Big Easy‘ wieder abgelegt werden musste.

Campusbild: Buzz, unser Maskottchen, beim 'Earth Day' für ökologisches Denken

… und das nicht nur heute, sondern auch morgen, und übermorgen, und den Tag danach, und… Ja! – Ich bin fertig mit Vorlesungen für den Rest dieses Studiums. Und ja, dieser Eintrag ist tatsächlich mal wieder der Uni und nicht einer Reise gewidmet… 🙂 Letzte Woche war Finals Week, in der theoretisch Klausuren angestanden hätten. Der Grund, dass ich keine hatte und damit eine recht angenehme Finals Woche hatte (Im Vergleich zum Fall Term), ist der, dass ich in meinen beiden Vorlesungen Final Projects hatte, d.h. eine Projektarbeit, umfassender als übliche Hausaufgaben. Für Wave Propagation konnte ich dafür einfach Material aus meiner Forschung nehmen, so dass dieses Thema sehr schnell abgehakt war und für Adaptive Control tobten Frederik und ich uns an einer Abstandsregelung für zwei Autos aus, doch dazu später mehr. Erst noch ein letzter, zäh zu lesender Vorlesungsrückblick für die zweite Hälfte des Spring Terms.

Ich muss sagen, in Wave Propagation ist die zweite Hälfte ziemlich an mir vorbeigegangen, da der Druck von Klausuren und Hausaufgaben sehr gering war, seitdem Larry die Vorlesung von Dr. Qu übernommen hatte. Ich hab mir die Sachen angehört und gedacht, „ganz nett! Wenn ich’s mal brauch, weiß ich ja, wo ich nachschauen muss.“ Und so war die Vorlesung von Larry wohl auch gedacht, da er doch meist sehr schnell und flapsig über die Herleitungen hinweggegangen ist. Im Großen und Ganzen betrachteten wir verschiedene Problemstellungen und deren Lösungen, also z.B. Wellen in einer unendlichen Platte (mein Forschungsthema), in einer zylinderförmigen Platte,  in anisotropen Materialien, oder auch wenn man einen Halbraum an der Oberfläche mit einem Punktimpuls (Dirac)  anstößt. Auch Transformations-Methoden wie Laplace oder Fourier zur Lösung der Gleichungen wiederholte Larry – neben „Eigenwertrechnung“ und „Boolscher Algebra“ das wohl am öftesten eingeführte Thema meines Studiums… 🙂

Campusbild: Tech Trolleys zur kostenlosen studentischen Fortbewegung auf dem Campus

Der zweite Teil von Adaptive Control verlief leider etwas träger als der erste, was hauptsächlich daran lag, dass man immer wieder fast das Gleiche gemacht hat und das bisschen Unterschied dann auch immer noch in Matlab simulieren musste. Nach der zweiten Hälfte kann ich auch in einem Satz zusammenfassen, was adaptive Regelung ist; nämlich inverse Lyapunov Analysis. D.h. man schreibt den üblichen Zustandsregler hin, nimmt an, dass die Verstärkung von der Zeit abhängt, und wählt dann die Ableitung der Verstärkung so, dass die ungewünschten Terme in der Lyapunov-Ableitung wegfallen  (Ich hoffe, das versteht jemand… zumindest wer Regelungstechnik II gehört hat, sollte wissen, was ich meine… 🙂 ). Das Schöne ist, dass man so garantieren kann, dass der Regelkreis stabil ist, auch wenn Systemgrößen von vornherein falsch geschätzt wurden. D.h. der Regler passt sich an das System an (adaptiert). Im Final Project wendeten wir das auf folgendes System an: Auto B fährt hinter Auto A und soll einen bestimmten Abstand zu Auto A einhalten. Die Beschleunigung von Auto A ist dabei eine unbekannte Störgröße, die Beschleunigung von Auto B die Eingangsgröße. Das System ist nicht übermäßig kompliziert (Im Prinzip nur ein Doppelintegrator von Beschleunigung zu Strecke), doch haben wir alle möglichen und abstrusen adaptiven Erweiterungen eingebaut (Disturbance Rejection, Input Constraint Adaptation, Composite Adaptation), so dass die Arbeit zu einer guten Note gereicht hat. Vielleicht hat den Professor aber auch unser Schlusszitat überzeugt, das ‚treffend‘ beschreibt, was Adaption ist: