Archiv für Mai 2009

Von Dispersionskurven und Phasengeschwindigkeiten…

Donnerstag, 21. Mai 2009

… handelt der heutige Eintrag. D.h. die weniger physikbegeisterten Leser sollten sich das Bildchen unten anschauen, sich an den geschlungenen Kurven erfreuen und dann zu einem Ă€lteren Beitrag wechseln 😉 . Ich werde nun nĂ€mlich ein wenig berichten, an was ich bei meiner Thesis denn gerade so arbeite. Ich hoffe mir gelingt eine einigermaßen verstĂ€ndliche Beschreibung, wenn auch stark verkĂŒrzt…

Ausgangspunkt ist eine Platte, die theoretisch unendlich gross ist, aber eine bestimmte Dicke hat. Da drin können sich mechanische Lamb Wellen ausbreiten (d.h. Materie stĂ¶ĂŸt andere Materie an, was sich wellenartig fortsetzt), deren Gestalt man mit physikalischen Gesetzen (Newtons Gesetz u.a.) herleiten kann. Die Lamb Wellen sind dispersiv, was bedeutet, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz der Anregung abhĂ€ngt. Aus der theoretischen Herleitung bekommt man aber eine Frequenzgleichung, die den Zusammenhang zwischen der Frequenz ω und der Wellenzahl Îș (Kehrwert zur WellenlĂ€nge) folgendermaßen herstellt

Dabei ist cL die longitudinale und cT die transversale Wellengeschwindigkeit in einem unendlichen Medium (beide sind Materialeigenschaften und damit konstant), und h die halbe Dicke der Platte . D.h. aus der Gleichung kann man Werte fĂŒr ω und Îș ausrechnen, aus denen man dann die Phasengeschwindigkeit c_ph erhĂ€lt, wenn man ω durch Îș teilt. Theoretisch breitet sich die Welle also mit dieser Geschwindigkeit aus. Wenn man das ganze numerisch ausrechnet und aufmalt, erhĂ€lt man die Dispersionskurven und das sieht dann so aus.

Dispersionskurven

Dispersionskurven

Die x-Achse ist die Frequenz und die y-Achse die Phasengeschwindigkeit. Jede Linie stellt eine Lamb Mode dar, wobei sich die Moden in ihrer Spannungsverteilung ĂŒber dem Plattenquerschnitt unterscheiden. Soweit die Grundlagen.

Meine Aufgabe ist es momentan Modenpaare zu finden, so dass die Phasengeschwindigkeit der einen Mode bei Frequenz ω gleich groß ist wie die Phasengeschwindigkeit einer anderen Mode bei Frequenz 2ω, was als ‚phase matching‘ bezeichnet wird. Durch Hinschauen habe ich dann auch die Paare gefunden, die im Bildchen mit schwarzen Strichen markiert sind. Letzte Woche und diese Woche bin ich nun dabei die gefunden Paare analytisch, also mit der Frequenzgleichung oben zu untersuchen, bzgl. Verschiebungen an der OberflĂ€che der Platte, Gruppengeschwindigkeit, und welche Bedingungen da gelten. Diesen Teil habe ich grĂ¶ĂŸtenteils abgeschlossen und bin nun auf der Suche nach einer physikalischen ErklĂ€rung fĂŒr die Ergebnisse.

Warum ich das ganze mache, hab ich ja frĂŒher schon mal ein bisschen erklĂ€rt, aber trotzdem nochmal kurz, um den Zusammenhang darzustellen: Durch ein paar mathematische Tricks kann man die nichtlineare Wellen-Theorie (das oben war alles lineare ElastizitĂ€t) in die lineare Theorie ĂŒberfĂŒhren. Um den Effekt der NichtlinearitĂ€ten sehen zu können, d.h. dass deren Amplitude stark wĂ€chst, wird in der Herleitung phase matching gefordert. Anhand der nichtlinearen Welle will man dann wiederum Aussagen ĂŒber den Zustand des Materials machen, also wie fit das Material noch ist. Der Gedankengang ist also folgender: Wir suchen nach Anregungsfrequenzen, wo phase matching existiert, damit die durch NichtlinearitĂ€ten im Material erzeugte Welle stark wĂ€chst und somit gut messbar ist, um dann aus der Messung Aussagen ĂŒber das Material machen zu können.

Gut, der nĂ€chste Eintrag wird wieder ĂŒber Freizeit sein, versprochen… 🙂

New Orleans – The Big Easy

Samstag, 09. Mai 2009

Wie versprochen folgt der ausstehende Bericht ĂŒber die Reise nach New Orleans im Staate Louisiana. Nachdem Alex am Freitag morgen seine PrĂŒfung hinter sich gebracht hatte, brachen Alex, Frederik, Magnus (Uni Karlsruhe) und ich zur etwa 7-stĂŒndigen Fahrt in den tiefen SĂŒden auf. Wir durchquerten Alabama’s Hauptstadt Montgomery, steuerten stark sĂŒdlich und erreichten nach der Durchquerung des  Staats Mississippi nahe der Golf KĂŒste schließlich am fortgeschrittenen Abend unser Ziel. Die Hauptattraktion New Orleans‘ ist das historische Viertel French Quarter .  Bevor New Orleans 1803 mit dem Louisiana Purchase an die USA ging, hatte die Stadt eine abwechslungreiche Kolonialgeschichte zwischen Spanien und Frankreich, aus dessen Zeit die Architektur des French Quarters stammt. Die touristische Beliebtheit des Viertels vernahmen wir auch gleich, als wir versuchten, unser Hotel mit dem Auto anzusteuern: Um die Bourbon Street, das touristische Herz des French Quarters zu ĂŒberqueren (wohlgemerkt Freitag abends), brauchte es angesichts der Menschenmassen schon einiges an Zeit.

French Quarter - ganz typisch

French Quarter - ganz typisch

Kurz danach befanden wir selbst uns darunter und waren erst einmal verblĂŒfft von dem ganzen Rummel. Leute tranken auf der Straße Bier (ungewöhnlich fĂŒr USA), mehr oder weniger abwechselnd luden Musik-Bars, Strip-Clubs und Vodoo-Shops zum Einkehren ein, Leute warfen ‚Beads‘ (Perlenketten) von den Balkonen, die man normalerweise einer Frau umhĂ€ngt, wenn sie einen dafĂŒr ‚flasht‘ (wer nicht weiß, was das ist, kann sich vielleicht denken, was es ist…) – Ganz anders als ich mir New Orleans vorgestellt habe, nĂ€mlich gemĂŒtliche Kneipen mit Jazz-Musik. Aber wir haben uns mit den Gegebenheiten ganz gut arrangiert und unseren Spaß gehabt… Von dem eben Beschriebenen kommt ĂŒbrigens der Spitzname ‚Big Easy‘, als sich New Orleans Anfang des 20. Jahrhunderts zum zĂŒgellosen VergnĂŒgungsort entwickelte.

French Quarter von Algier aus

French Quarter von Algier aus

Louis Armstrong - Der Vater des Jazz

Louis Armstrong - Der Vater des Jazz

Am Samstag gingen Alex und Magnus zum Jazz Festival, das an diesem Wochenende stattfand. Prinzipiell fand ich das auch eine gute Sache (Jazz Festival in der Stadt des Jazz), doch stieß mir persönlich auf, dass der Preis fĂŒr eine Karte 50$ pro Tag betrug und das auch nur weil Leute wie Jon Bon Jovi u.Ă€. auftraten, die mal gar nichts mit Jazz zu tun haben. Frederik und ich schauten uns daher die etwas entlegeneren Punkte der Stadt an. Wir fuhren mit der St.  Charles Streetcar, einem altertĂŒmlichen, einwĂ€gigen StraßenbĂ€hnchen durch die Viertel Uptown und Garden District, wo man direkt Lust bekommt, in einer der luxuriösen Villen zu leben und die FĂŒĂŸe auf der Veranda mit Schaukelstuhl baumeln zu lassen. Wieder zurĂŒck am touristischen French Quarter, nahmen wir die kostenlose FĂ€hre nach Algier ĂŒber den Mississippi fĂŒr einen schönen Blick auf die Stadt von der anderen Uferseite. Am Nachmittag hatten wir uns auch das Louisiana State Museum angeschaut, fĂŒr gerade mal 5$ jede Menge Geschichte, von den Ureinwohnern bis zum BĂŒrgerkrieg, u.a. auch der Raum, in dem der Louisiana Purchase unterzeichnet wurde, der die Westausbreitung der USA stark voranbrachte.

Der Mississippi-Dampfer 'Natchez'

Der Mississippi-Dampfer 'Natchez'

Kathedrale und Jackson Square

Kathedrale und Jackson Square

Am Sonntag streiften wir dann zu viert ausfĂŒhrlichst durch das French Quarter, um die alten HĂ€user, Kirchen, RegierungsgebĂ€ude, usw. anzuschauen. Zum Fotografieren gab’s da mehr als genug. Die ursprĂŒnglichen PlĂ€ne, einmal mit dem Schaufelraddampfer Natchez zu fahren, oder die „Katrina“-Tour zu machen, ließen wir dann aus ErmĂŒdung und KostengrĂŒnden doch sein. Eine Tour durch die verwĂŒsteten Gegenden hĂ€tte 35$ oder mehr gekostet, ziemlich viel fĂŒr etwas, wofĂŒr keiner etwas geleistet hat. A propos Katrina, in den Touri-Zonen kriegt man nichts mehr davon mit, dass da mal (2005)  etwas war – außer in Shops, wo man BĂŒcher ĂŒber Katrina kaufen kann-, wobei dieses Gegenden damals auch nicht so sehr betroffen waren wie die Regionen im Osten zum Golf hin.

USS Alabama in Mobile

USS Alabama in Mobile

FrĂŒh morgens am Montag (wir hatten ja eine Stunde Zeitverschiebung aufzuholen), ging’s dann zurĂŒck nach Atlanta, wobei wir noch einen Zwischenstopp in Mobile, Alabama, einlegten, wo das ausgemusterte Kriegsschiff USS Alabama und ein U-Boot, beide aus dem 2.Weltkrieg, vor Anker liegen. Bis wir die ganzen RĂ€ume Unterdeck und im Kontrollturm (oder wie das heißt) abgelaufen hatten, vergingen doch 1-2 Stunden, aber die GrĂ¶ĂŸe, KomplexitĂ€t und Organisation einer solchen Konstruktion boten genug Anlass zum Staunen. Im U-Boot konnte man sogar durch das Periskop die Alabama beobachten, sehr cool. Leider war das Periskop fixiert, so dass nicht ganz das GefĂŒhl aufkam, KapitĂ€n eines U-Boots zu sein,  aber beinahe 🙂 . Kurz vor der Abfahrt aus Mobile starteten eine Horde ekelerregend aussehender Insekten regelrechte Massenangriffe auf unsere Reisegruppe, vor der wir uns gerade noch ins Auto retten konnten, wo wir die letzten 5 Stunden verbrachten, bevor in Atlanta die UnbekĂŒmmertheit von ‚The Big Easy‘ wieder abgelegt werden musste.

Vorlesungsfrei…

Mittwoch, 06. Mai 2009
Campusbild: Buzz, unser Maskottchen, beim 'Earth Day' fĂŒr ökologisches Denken

Campusbild: Buzz, unser Maskottchen, beim 'Earth Day' fĂŒr ökologisches Denken

… und das nicht nur heute, sondern auch morgen, und ĂŒbermorgen, und den Tag danach, und… Ja! – Ich bin fertig mit Vorlesungen fĂŒr den Rest dieses Studiums. Und ja, dieser Eintrag ist tatsĂ€chlich mal wieder der Uni und nicht einer Reise gewidmet… 🙂 Letzte Woche war Finals Week, in der theoretisch Klausuren angestanden hĂ€tten. Der Grund, dass ich keine hatte und damit eine recht angenehme Finals Woche hatte (Im Vergleich zum Fall Term), ist der, dass ich in meinen beiden Vorlesungen Final Projects hatte, d.h. eine Projektarbeit, umfassender als ĂŒbliche Hausaufgaben. FĂŒr Wave Propagation konnte ich dafĂŒr einfach Material aus meiner Forschung nehmen, so dass dieses Thema sehr schnell abgehakt war und fĂŒr Adaptive Control tobten Frederik und ich uns an einer Abstandsregelung fĂŒr zwei Autos aus, doch dazu spĂ€ter mehr. Erst noch ein letzter, zĂ€h zu lesender VorlesungsrĂŒckblick fĂŒr die zweite HĂ€lfte des Spring Terms.

Ich muss sagen, in Wave Propagation ist die zweite HĂ€lfte ziemlich an mir vorbeigegangen, da der Druck von Klausuren und Hausaufgaben sehr gering war, seitdem Larry die Vorlesung von Dr. Qu ĂŒbernommen hatte. Ich hab mir die Sachen angehört und gedacht, „ganz nett! Wenn ich’s mal brauch, weiß ich ja, wo ich nachschauen muss.“ Und so war die Vorlesung von Larry wohl auch gedacht, da er doch meist sehr schnell und flapsig ĂŒber die Herleitungen hinweggegangen ist. Im Großen und Ganzen betrachteten wir verschiedene Problemstellungen und deren Lösungen, also z.B. Wellen in einer unendlichen Platte (mein Forschungsthema), in einer zylinderförmigen Platte,  in anisotropen Materialien, oder auch wenn man einen Halbraum an der OberflĂ€che mit einem Punktimpuls (Dirac)  anstĂ¶ĂŸt. Auch Transformations-Methoden wie Laplace oder Fourier zur Lösung der Gleichungen wiederholte Larry – neben „Eigenwertrechnung“ und „Boolscher Algebra“ das wohl am öftesten eingefĂŒhrte Thema meines Studiums… 🙂

Campusbild: Tech Trolleys zur kostenlosen studentischen Fortbewegung auf dem Campus

Campusbild: Tech Trolleys zur kostenlosen studentischen Fortbewegung auf dem Campus

Der zweite Teil von Adaptive Control verlief leider etwas trĂ€ger als der erste, was hauptsĂ€chlich daran lag, dass man immer wieder fast das Gleiche gemacht hat und das bisschen Unterschied dann auch immer noch in Matlab simulieren musste. Nach der zweiten HĂ€lfte kann ich auch in einem Satz zusammenfassen, was adaptive Regelung ist; nĂ€mlich inverse Lyapunov Analysis. D.h. man schreibt den ĂŒblichen Zustandsregler hin, nimmt an, dass die VerstĂ€rkung von der Zeit abhĂ€ngt, und wĂ€hlt dann die Ableitung der VerstĂ€rkung so, dass die ungewĂŒnschten Terme in der Lyapunov-Ableitung wegfallen  (Ich hoffe, das versteht jemand… zumindest wer Regelungstechnik II gehört hat, sollte wissen, was ich meine… 🙂 ). Das Schöne ist, dass man so garantieren kann, dass der Regelkreis stabil ist, auch wenn SystemgrĂ¶ĂŸen von vornherein falsch geschĂ€tzt wurden. D.h. der Regler passt sich an das System an (adaptiert). Im Final Project wendeten wir das auf folgendes System an: Auto B fĂ€hrt hinter Auto A und soll einen bestimmten Abstand zu Auto A einhalten. Die Beschleunigung von Auto A ist dabei eine unbekannte StörgrĂ¶ĂŸe, die Beschleunigung von Auto B die EingangsgrĂ¶ĂŸe. Das System ist nicht ĂŒbermĂ€ĂŸig kompliziert (Im Prinzip nur ein Doppelintegrator von Beschleunigung zu Strecke), doch haben wir alle möglichen und abstrusen adaptiven Erweiterungen eingebaut (Disturbance Rejection, Input Constraint Adaptation, Composite Adaptation), so dass die Arbeit zu einer guten Note gereicht hat. Vielleicht hat den Professor aber auch unser Schlusszitat ĂŒberzeugt, das ‚treffend‘ beschreibt, was Adaption ist:

When the lights first go out, I can’t see;
Maybe waiting a while is the key:
After dark adaptation—
Acclimatization—
I’ll be able to aim when I pee.
Quelle: www.oedilf.com
Dass die Finals Woche dann doch nicht allzu locker war, liegt weiterhin daran, dass nun die Thesis wieder im Rampenlicht steht. Wie’s da aussieht, werde ich aber spĂ€ter erzĂ€hlen. Die nĂ€chsten Tage will ich erst noch vom Wochenendausflug nach New Orleans erzĂ€hlen, den wir zu viert von Freitag bis Montag durchgezogen haben. Man darf gespannt sein 😉 . Bis dahin, viele GrĂŒĂŸe aus Georgia!