Archiv für 21. Mai 2009

Von Dispersionskurven und Phasengeschwindigkeiten…

Donnerstag, 21. Mai 2009

… handelt der heutige Eintrag. D.h. die weniger physikbegeisterten Leser sollten sich das Bildchen unten anschauen, sich an den geschlungenen Kurven erfreuen und dann zu einem Ă€lteren Beitrag wechseln 😉 . Ich werde nun nĂ€mlich ein wenig berichten, an was ich bei meiner Thesis denn gerade so arbeite. Ich hoffe mir gelingt eine einigermaßen verstĂ€ndliche Beschreibung, wenn auch stark verkĂŒrzt…

Ausgangspunkt ist eine Platte, die theoretisch unendlich gross ist, aber eine bestimmte Dicke hat. Da drin können sich mechanische Lamb Wellen ausbreiten (d.h. Materie stĂ¶ĂŸt andere Materie an, was sich wellenartig fortsetzt), deren Gestalt man mit physikalischen Gesetzen (Newtons Gesetz u.a.) herleiten kann. Die Lamb Wellen sind dispersiv, was bedeutet, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz der Anregung abhĂ€ngt. Aus der theoretischen Herleitung bekommt man aber eine Frequenzgleichung, die den Zusammenhang zwischen der Frequenz ω und der Wellenzahl Îș (Kehrwert zur WellenlĂ€nge) folgendermaßen herstellt

Dabei ist cL die longitudinale und cT die transversale Wellengeschwindigkeit in einem unendlichen Medium (beide sind Materialeigenschaften und damit konstant), und h die halbe Dicke der Platte . D.h. aus der Gleichung kann man Werte fĂŒr ω und Îș ausrechnen, aus denen man dann die Phasengeschwindigkeit c_ph erhĂ€lt, wenn man ω durch Îș teilt. Theoretisch breitet sich die Welle also mit dieser Geschwindigkeit aus. Wenn man das ganze numerisch ausrechnet und aufmalt, erhĂ€lt man die Dispersionskurven und das sieht dann so aus.

Dispersionskurven

Dispersionskurven

Die x-Achse ist die Frequenz und die y-Achse die Phasengeschwindigkeit. Jede Linie stellt eine Lamb Mode dar, wobei sich die Moden in ihrer Spannungsverteilung ĂŒber dem Plattenquerschnitt unterscheiden. Soweit die Grundlagen.

Meine Aufgabe ist es momentan Modenpaare zu finden, so dass die Phasengeschwindigkeit der einen Mode bei Frequenz ω gleich groß ist wie die Phasengeschwindigkeit einer anderen Mode bei Frequenz 2ω, was als ‚phase matching‘ bezeichnet wird. Durch Hinschauen habe ich dann auch die Paare gefunden, die im Bildchen mit schwarzen Strichen markiert sind. Letzte Woche und diese Woche bin ich nun dabei die gefunden Paare analytisch, also mit der Frequenzgleichung oben zu untersuchen, bzgl. Verschiebungen an der OberflĂ€che der Platte, Gruppengeschwindigkeit, und welche Bedingungen da gelten. Diesen Teil habe ich grĂ¶ĂŸtenteils abgeschlossen und bin nun auf der Suche nach einer physikalischen ErklĂ€rung fĂŒr die Ergebnisse.

Warum ich das ganze mache, hab ich ja frĂŒher schon mal ein bisschen erklĂ€rt, aber trotzdem nochmal kurz, um den Zusammenhang darzustellen: Durch ein paar mathematische Tricks kann man die nichtlineare Wellen-Theorie (das oben war alles lineare ElastizitĂ€t) in die lineare Theorie ĂŒberfĂŒhren. Um den Effekt der NichtlinearitĂ€ten sehen zu können, d.h. dass deren Amplitude stark wĂ€chst, wird in der Herleitung phase matching gefordert. Anhand der nichtlinearen Welle will man dann wiederum Aussagen ĂŒber den Zustand des Materials machen, also wie fit das Material noch ist. Der Gedankengang ist also folgender: Wir suchen nach Anregungsfrequenzen, wo phase matching existiert, damit die durch NichtlinearitĂ€ten im Material erzeugte Welle stark wĂ€chst und somit gut messbar ist, um dann aus der Messung Aussagen ĂŒber das Material machen zu können.

Gut, der nĂ€chste Eintrag wird wieder ĂŒber Freizeit sein, versprochen… 🙂