Von Dispersionskurven und Phasengeschwindigkeiten…

… handelt der heutige Eintrag. D.h. die weniger physikbegeisterten Leser sollten sich das Bildchen unten anschauen, sich an den geschlungenen Kurven erfreuen und dann zu einem älteren Beitrag wechseln 😉 . Ich werde nun nämlich ein wenig berichten, an was ich bei meiner Thesis denn gerade so arbeite. Ich hoffe mir gelingt eine einigermaßen verständliche Beschreibung, wenn auch stark verkürzt…

Ausgangspunkt ist eine Platte, die theoretisch unendlich gross ist, aber eine bestimmte Dicke hat. Da drin können sich mechanische Lamb Wellen ausbreiten (d.h. Materie stößt andere Materie an, was sich wellenartig fortsetzt), deren Gestalt man mit physikalischen Gesetzen (Newtons Gesetz u.a.) herleiten kann. Die Lamb Wellen sind dispersiv, was bedeutet, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit von der Frequenz der Anregung abhängt. Aus der theoretischen Herleitung bekommt man aber eine Frequenzgleichung, die den Zusammenhang zwischen der Frequenz ω und der Wellenzahl κ (Kehrwert zur Wellenlänge) folgendermaßen herstellt

Dabei ist cL die longitudinale und cT die transversale Wellengeschwindigkeit in einem unendlichen Medium (beide sind Materialeigenschaften und damit konstant), und h die halbe Dicke der Platte . D.h. aus der Gleichung kann man Werte für ω und κ ausrechnen, aus denen man dann die Phasengeschwindigkeit c_ph erhält, wenn man ω durch κ teilt. Theoretisch breitet sich die Welle also mit dieser Geschwindigkeit aus. Wenn man das ganze numerisch ausrechnet und aufmalt, erhält man die Dispersionskurven und das sieht dann so aus.

Dispersionskurven

Dispersionskurven

Die x-Achse ist die Frequenz und die y-Achse die Phasengeschwindigkeit. Jede Linie stellt eine Lamb Mode dar, wobei sich die Moden in ihrer Spannungsverteilung über dem Plattenquerschnitt unterscheiden. Soweit die Grundlagen.

Meine Aufgabe ist es momentan Modenpaare zu finden, so dass die Phasengeschwindigkeit der einen Mode bei Frequenz ω gleich groß ist wie die Phasengeschwindigkeit einer anderen Mode bei Frequenz 2ω, was als ‚phase matching‘ bezeichnet wird. Durch Hinschauen habe ich dann auch die Paare gefunden, die im Bildchen mit schwarzen Strichen markiert sind. Letzte Woche und diese Woche bin ich nun dabei die gefunden Paare analytisch, also mit der Frequenzgleichung oben zu untersuchen, bzgl. Verschiebungen an der Oberfläche der Platte, Gruppengeschwindigkeit, und welche Bedingungen da gelten. Diesen Teil habe ich größtenteils abgeschlossen und bin nun auf der Suche nach einer physikalischen Erklärung für die Ergebnisse.

Warum ich das ganze mache, hab ich ja früher schon mal ein bisschen erklärt, aber trotzdem nochmal kurz, um den Zusammenhang darzustellen: Durch ein paar mathematische Tricks kann man die nichtlineare Wellen-Theorie (das oben war alles lineare Elastizität) in die lineare Theorie überführen. Um den Effekt der Nichtlinearitäten sehen zu können, d.h. dass deren Amplitude stark wächst, wird in der Herleitung phase matching gefordert. Anhand der nichtlinearen Welle will man dann wiederum Aussagen über den Zustand des Materials machen, also wie fit das Material noch ist. Der Gedankengang ist also folgender: Wir suchen nach Anregungsfrequenzen, wo phase matching existiert, damit die durch Nichtlinearitäten im Material erzeugte Welle stark wächst und somit gut messbar ist, um dann aus der Messung Aussagen über das Material machen zu können.

Gut, der nächste Eintrag wird wieder über Freizeit sein, versprochen… 🙂

6 Antworten zu “Von Dispersionskurven und Phasengeschwindigkeiten…”

  1. benjamin Sagt:

    Ich hab’s gelesen…
    Verstanden hab ich aber nicht allzu viel. 🙂

  2. martin Sagt:

    Hm, ich geb zu, gegen Ende wirds ein wenig zu abgekuerzt… aber DANKE, jetzt weiss ich, dass es immerhin einer gelesen hat 😀

  3. Ulf Sagt:

    Gelesen hab ichs auch, hat mir sogar gefallen. Bis zu dem Punkt an dem du verschweigst, wie du eine nichtlineare Theorie in eine lineare ueberfuehrst ;-).
    (Der gemeine Kyb denkt ja gleich an Feedback-Linearisierung…)

    Was ich an der Abbildung nicht verstehe:
    Bezeichnen die blauen Kurven die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer Mode, und die roten Kurven die Geschwindigkeit der anderen Mode?
    Sollten dann schwarze Striche nicht immer eine rote mit einer blauen Kurve verbinden?

    Und… die beiden schwarzen Striche am unteren Bildende… sind das echt ω und 2ω? 😉 SCNR

  4. martin Sagt:

    Wow, ich bin beeindruckt! Ich haette meinen Bericht nicht so genau gelesen. Deine Fragen sind alle berechtigt und ich habe die Antworten weggelassen und Querleser nicht noch mehr zu nerven 😉

    1. Das Stichwort lautet Perturbation. Es wird angenommen (Perturbationsbedingung), dass die Amplitude der angeregten Welle (primary wave) viel groesser ist als die Amplitude, die durch die Nichtlinearitaet des Materials erzeugt wird (secondary wave). Damit erhaelt man dann (wie in TM: „quadratische Terme koennen wir vernachlaessigen“) zwei entkoppelte lineare BVPs, eine fuer die primary wave und eine fuer die secondary. Die secondary wave ist dann natuerlich die interessante.

    2. Rot bedeutet antisymmtrische Mode und blau symmetrische Mode (unterscheiden sich in der Symmetrie des displacement field). Wir wollen z.B. zeigen, dass keine antisymmetrische secondary Mode existieren kann. Deshalb wird nur zu blauen Kurven verbunden. Aber du hast Recht, ich haette noch genauer sagen sollen, dass das in dem Bild die Phasengeschwindigkeit ist, waehrend die Gruppengeschwindigkeit die eigentliche Ausbreitungsgeschwindigkeit ist (Geschwindigkeit der Energieausbreitung) – hier aber nirgends zu sehen…

    3.Die Striche am Ende unten sind mit einer Toleranz von 5% gemeint (In der Praxis gibts eh keinen exaktes Phasematching, weil immer ein Frequenzband angregt wird). Da die Moden fuer hohe Frequenzen zur gleichen Phasengeschwindigkeit (und auch zur gleichen Gruppengeschwindigkeit) konvergieren, gibts da im Limit quasi bei jeder Frequenz mehrere matching Paare, das wollte ich mit den beiden Linien andeuten. Und sie beginnen auch wirklich da, wo die 5% Toleranz anfaengt.

    Ne, brauchst dich nicht entschuldigen! Regt einen doch gut zum Nachdenken an. Und ausserdem schoen, dass ich es nicht ganz umsonst geschrieben hab. Schon zwei Leser *g*

  5. chris Sagt:

    ———
    Ich hab’s gelesen…
    Verstanden hab ich aber nicht allzu viel. 🙂
    ———

    Geht mir ebenso, aber es wird von Bericht zu Bericht besser 🙂

  6. martin Sagt:

    Ja, die Grundlagen sind jetzt geschaffen, dann koennen wir beim naechsten Eintrag in die Tiefe gehn 😉 . Ne Spass.., wenn man einen kleinen Eindruck bekommt, worums geht, dann ist ja schon was erreicht 🙂